兒童眼睛周圍出現密密麻麻的紅色點點，可能是由于過敏或皮下出血等原因引起的。

由于兒童的皮膚較為嬌嫩，當出現過敏反應時，局部毛細血管可能會擴張并形成皮疹，表現為紅色小點點。此時，可以考慮使用抗過敏眼藥膏進行治療，比如四環素可的松眼膏等。

另外，如果兒童經常用手揉眼睛，可能會導致眼瞼皮下出血，形成小紅點。在此時，家長應告誡孩子避免揉眼，通常出血點會自行吸收，無需藥物治療。

如果兒童眼睛周圍出現大量紅色點點，建議及時帶孩子去醫院的眼科就診。醫生會根據具體情況查明原因，并給出相應的治療建議。