眼睛周圍出現紅點，通常可能是由紫癜、血管瘤、過敏等原因所致。

一、紫癜：紫癜指的是因血管內壓增高使得微血管破裂從而引起皮下出血。劇烈咳嗽、嘔吐、便秘等情況容易誘發紫癜。其主要表現為針尖大小且群聚或散在的瘀點或瘀斑，所以眼睛周圍出現紅點可能是紫癜導致的。

二、血管瘤：這是臨床上較為常見的血管腫瘤性疾病，多與胚胎發育時期血管異常增生有關。主要表現為皮膚顏色和形態的改變以及皮膚隆起等，這也可能造成眼睛周圍出現紅點。

三、過敏：過敏即人體接觸某些物質后發生的過度免疫反應。當人體皮膚接觸過敏原時，可能引發過敏反應，一般會有皮膚紅腫、丘疹、瘙癢等表現，進而可能致使眼睛周圍出現紅點。

總之，當發現眼睛周圍出現紅點時，要考慮可能是上述這些原因引起的，需及時就醫進行明確診斷和相應處理。